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Answer:

[tex]\displaystyle f'(x) = 3(5x + sin^3x + sinx^3)^2 \bigg[ 3x^2cosx^3 + 3sin^2(x)cos(x) + 5 \bigg][/tex]

General Formulas and Concepts:

Algebra I

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Pre-Calculus

  • Trigonometric Notation

Calculus

Derivatives

Derivative Notation

Derivative Property [Addition/Subtraction]:                                                                [tex]\displaystyle \frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = \frac{d}{dx}[f(x)] + \frac{d}{dx}[g(x)][/tex]

Basic Power Rule:

  • f(x) = cxⁿ
  • f’(x) = c·nxⁿ⁻¹

Derivative Rule [Chain Rule]:                                                                                    [tex]\displaystyle \frac{d}{dx}[f(g(x))] =f'(g(x)) \cdot g'(x)[/tex]

Trig Derivative:                                                                                                          [tex]\displaystyle \frac{d}{dx}[sin(u)] = u'cos(u)[/tex]

Step-by-step explanation:

Step 1: Define

Identify

[tex]\displaystyle f(x) = (5x + sin^3x + sinx^3)^3[/tex]

Step 2: Differentiate

  1. Chain Rule:                                                                                                        [tex]\displaystyle f'(x) = \frac{d}{dx} \bigg[ (5x + sin^3x + sinx^3)^3 \bigg] \cdot \frac{d}{dx} \bigg[ 5x + sin^3x + sinx^3 \bigg][/tex]
  2. Basic Power Rule:                                                                                              [tex]\displaystyle f'(x) = 3(5x + sin^3x + sinx^3)^{3 - 1} \cdot \frac{d}{dx} \bigg[ 5x + sin^3x + sinx^3 \bigg][/tex]
  3. Simplify:                                                                                                              [tex]\displaystyle f'(x) = 3(5x + sin^3x + sinx^3)^2 \cdot \frac{d}{dx} \bigg[ 5x + sin^3x + sinx^3 \bigg][/tex]
  4. Derivative Property [Addition]:                                                                        [tex]\displaystyle f'(x) = 3(5x + sin^3x + sinx^3)^2 \cdot \bigg[ \frac{d}{dx}[5x] + \frac{d}{dx}[sin^3x] + \frac{d}{dx}[sinx^3] \bigg][/tex]
  5. Rewrite [Trigonometric Notation]:                                                                   [tex]\displaystyle f'(x) = 3(5x + sin^3x + sinx^3)^2 \cdot \bigg[ \frac{d}{dx}[5x] + \frac{d}{dx}[(sinx)^3] + \frac{d}{dx}[sinx^3] \bigg][/tex]
  6. Basic Power Rule:                                                                                            [tex]\displaystyle f'(x) = 3(5x + sin^3x + sinx^3)^2 \cdot \bigg[ 5x^{1 - 1} + \frac{d}{dx}[(sinx)^3] + \frac{d}{dx}[sinx^3] \bigg][/tex]
  7. Simplify:                                                                                                             [tex]\displaystyle f'(x) = 3(5x + sin^3x + sinx^3)^2 \cdot \bigg[ 5 + \frac{d}{dx}[(sinx)^3] + \frac{d}{dx}[sinx^3] \bigg][/tex]
  8. Trig Derivative [Derivative Rule - Chain Rule]:                                               [tex]\displaystyle f'(x) = 3(5x + sin^3x + sinx^3)^2 \cdot \bigg[ 5 + \frac{d}{dx}[(sinx)^3] + \bigg( \frac{d}{dx}[sinx^3] \cdot \frac{d}{dx}[x^3] \bigg) \bigg][/tex]
  9. Trig Derivative [Basic Power Rule]:                                                                  [tex]\displaystyle f'(x) = 3(5x + sin^3x + sinx^3)^2 \cdot \bigg[ 5 + \frac{d}{dx}[(sinx)^3] + \bigg( cosx^3 \cdot 3x^{3 - 1} \bigg) \bigg][/tex]
  10. Simplify:                                                                                                            [tex]\displaystyle f'(x) = 3(5x + sin^3x + sinx^3)^2 \cdot \bigg[ 5 + \frac{d}{dx}[(sinx)^3] + 3x^2cosx^3 \bigg][/tex]
  11. Chain Rule:                                                                                                       [tex]\displaystyle f'(x) = 3(5x + sin^3x + sinx^3)^2 \cdot \bigg[ 5 + \bigg( \frac{d}{dx}[(sinx)^3] \cdot \frac{d}{dx}[sinx] \bigg) + 3x^2cosx^3 \bigg][/tex]
  12. Basic Power Rule:                                                                                             [tex]\displaystyle f'(x) = 3(5x + sin^3x + sinx^3)^2 \cdot \bigg[ 5 + \bigg( 3(sinx)^{3 - 1} \cdot \frac{d}{dx}[sinx] \bigg) + 3x^2cosx^3 \bigg][/tex]
  13. Simplify:                                                                                                             [tex]\displaystyle f'(x) = 3(5x + sin^3x + sinx^3)^2 \cdot \bigg[ 5 + \bigg( 3(sinx)^2 \cdot \frac{d}{dx}[sinx] \bigg) + 3x^2cosx^3 \bigg][/tex]
  14. Trig Derivative:                                                                                                 [tex]\displaystyle f'(x) = 3(5x + sin^3x + sinx^3)^2 \cdot \bigg[ 5 + \bigg( 3(sinx)^2 \cdot cos(x) \bigg) + 3x^2cosx^3 \bigg][/tex]
  15. Simplify [Rewrite]:                                                                                             [tex]\displaystyle f'(x) = 3(5x + sin^3x + sinx^3)^2 \cdot \bigg[ 5 + 3sin^2(x)cos(x) + 3x^2cosx^3 \bigg][/tex]
  16. Rewrite:                                                                                                             [tex]\displaystyle f'(x) = 3(5x + sin^3x + sinx^3)^2 \bigg[ 3x^2cosx^3 + 3sin^2(x)cos(x) + 5 \bigg][/tex]

Topic: AP Calculus AB/BC (Calculus I/I + II)

Unit: Derivatives

Book: College Calculus 10e

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