Answer:
1) La piedra permanece en el aire en 4 segundos.
2) La piedra alcanza una distancia horizontal de 32 metros.
3) La velocidad de la piedra con la que alcanza el suelo es aproximadamente 40.792 metros por segundo.
Step-by-step explanation:
El problema nos indica un caso de tipo parabólico, el cual consiste en la suma de un movimiento horizontal a velocidad y un movimiento uniforme acelerado por la gravedad desde el reposo.
1) El tiempo total que la piedra permanecería en el aire es tiempo requerido entre la parte superior del acantilado y el fondo. La ecuación cinemática que vamos a utilizar es la siguiente:
[tex]y = y_{o} + v_{o,y}\cdot t +\frac{1}{2}\cdot g \cdot t^{2}[/tex] (Ec. 1)
Donde:
[tex]y_{o}[/tex] - Altura inicial, medida en metros.
[tex]y[/tex] - Altura final, medida en metros.
[tex]v_{o,y}[/tex] - Velocidad vertical inicial de la piedra, meadida en metros por segundo.
[tex]g[/tex] - Aceleración gravitacional, medido en metros por segundo al cuadrado.
[tex]t[/tex] - Tiempo, medido en segundos.
Si sabemos que [tex]y_{o} = 80\,m[/tex], [tex]v_{o,y} = 0\,\frac{m}{s}[/tex] y [tex]g = -10\,\frac{m}{s^{2}}[/tex], entonces encontramos la siguiente función cuadrática:
[tex]-5\cdot t^{2}+80 = 0[/tex] (Ec. 2)
El tiempo en el que la piedra permanece en el aire es:
[tex]t = 4\,s[/tex]
La piedra permanece en el aire en 4 segundos.
2) La distancia horizontal es descrita por la siguiente fórmula cinemática:
[tex]x = x_{o}+v_{o,x}\cdot t[/tex] (Ec. 3)
Donde:
[tex]x_{o}[/tex] - Posición horizontal inicial, medido en metros.
[tex]x[/tex] - Posición horizontal final, medido en metros.
[tex]v_{o,x}[/tex] - Velocidad horizontal inicial de la piedra, medida en metros por segundo.
Si sabemos que [tex]x_{o} = 0\,m[/tex], [tex]v_{o,x} = 8\,\frac{m}{s}[/tex] and [tex]t = 4\,s[/tex], entonces la distancia horizontal alcanzada por la piedra es:
[tex]x = 0\,m + \left(8\,\frac{m}{s}\right)\cdot (4\,s)[/tex]
[tex]x = 32\,m[/tex]
La piedra alcanza una distancia horizontal de 32 metros.
3) En primer lugar, determinamos los componentes vertical y horizontal de la velocidad final de la piedra por medio de las siguientes fórmulas cinemáticas:
Velocidad final horizontal ([tex]v_{x}[/tex]), medida en metros por segundo.
[tex]v_{x} = \frac{x-x_{o}}{t}[/tex] (Ec. 4)
Velocidad final vertical ([tex]v_{y}[/tex]), medida en metros por segundo.
[tex]v_{y} = v_{o,y}+g\cdot t[/tex] (Ec. 5)
Si [tex]x = 32\,m[/tex], [tex]x_{o} = 0\,m[/tex]. [tex]t = 4\,s[/tex], [tex]v_{o,y} = 0\,\frac{m}{s}[/tex] y [tex]g = -10\,\frac{m}{s^{2}}[/tex], los componentes de la velocidad final de la piedra son:
[tex]v_{x} = \frac{32\,m-0\,m}{4\,s}[/tex]
[tex]v_{x} = 8\,\frac{m}{s}[/tex]
[tex]v_{y} = 0\,\frac{m}{s}+\left(-10\,\frac{m}{s^{2}} \right) \cdot (4\,s)[/tex]
[tex]v_{y} = -40\,\frac{m}{s}[/tex]
Por último, determinamos la velocidad final de la piedra por Teorema de Pitágoras:
[tex]v = \sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}[/tex] (Ec. 6)
[tex]v = \sqrt{\left(8\,\frac{m}{s} \right)^{2}+\left(-40\,\frac{m}{s} \right)^{2}}[/tex]
[tex]v \approx 40.792\,\frac{m}{s}[/tex]
La velocidad de la piedra con la que alcanza el suelo es aproximadamente 40.792 metros por segundo.
