Respuesta :

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Answer:

[tex]\displaystyle y' = \frac{5x^2 + 3}{3(1 + x^2)^\bigg{\frac{2}{3}}}[/tex]

General Formulas and Concepts:

Pre-Algebra

  • Equality Properties

Algebra I

  • Functions
  • Function Notation
  • Exponential Rule [Root Rewrite]:                                                                     [tex]\displaystyle \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}[/tex]

Algebra II

  • Logarithms and Natural Logs
  • Logarithmic Property [Multiplying]:                                                                 [tex]\displaystyle log(ab) = log(a) + log(b)[/tex]
  • Logarithmic Property [Exponential]:                                                                [tex]\displaystyle log(a^b) = b \cdot log(a)[/tex]

Calculus

Derivatives

Derivative Notation

Derivative Property [Multiplied Constant]:                                                              [tex]\displaystyle \frac{d}{dx} [cf(x)] = c \cdot f'(x)[/tex]

Derivative Property [Addition/Subtraction]:                                                            [tex]\displaystyle \frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = \frac{d}{dx}[f(x)] + \frac{d}{dx}[g(x)][/tex]

Basic Power Rule:

  • f(x) = cxⁿ
  • f’(x) = c·nxⁿ⁻¹

Derivative Rule [Chain Rule]:                                                                                       [tex]\displaystyle \frac{d}{dx}[f(g(x))] =f'(g(x)) \cdot g'(x)[/tex]

Logarithmic Derivative:                                                                                                [tex]\displaystyle \frac{d}{dx} [lnu] = \frac{u'}{u}[/tex]

Implicit Differentiation

Step-by-step explanation:

Step 1: Define

Identify

[tex]\displaystyle y = x\sqrt[3]{1 + x^2}[/tex]

Step 2: Rewrite

  1. [Equality Property] ln both sides:                                                                     [tex]\displaystyle lny = ln(x\sqrt[3]{1 + x^2})[/tex]
  2. Logarithmic Property [Multiplying]:                                                                 [tex]\displaystyle lny = ln(x) + ln(\sqrt[3]{1 + x^2})[/tex]
  3. Exponential Rule [Root Rewrite]:                                                                     [tex]\displaystyle lny = ln(x) + ln \bigg[ (1 + x^2)^\bigg{\frac{1}{3}} \bigg][/tex]
  4. Logarithmic Property [Exponential]:                                                                [tex]\displaystyle lny = ln(x) + \frac{1}{3}ln(1 + x^2)[/tex]

Step 3: Differentiate

  1. ln Derivative [Implicit Differentiation]:                                                             [tex]\displaystyle \frac{d}{dx}[lny] = \frac{d}{dx} \bigg[ ln(x) + \frac{1}{3}ln(1 + x^2) \bigg][/tex]
  2. Rewrite [Derivative Property - Addition]:                                                        [tex]\displaystyle \frac{d}{dx}[lny] = \frac{d}{dx}[ln(x)] + \frac{d}{dx} \bigg[ \frac{1}{3}ln(1 + x^2) \bigg][/tex]
  3. Rewrite [Derivative Property - Multiplied Constant]:                                      [tex]\displaystyle \frac{d}{dx}[lny] = \frac{d}{dx}[ln(x)] + \frac{1}{3}\frac{d}{dx}[ln(1 + x^2)][/tex]
  4. ln Derivative [Chain Rule]:                                                                                [tex]\displaystyle \frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{3} \bigg( \frac{1}{1 + x^2} \bigg) \cdot \frac{d}{dx}[(1 + x^2)][/tex]
  5. Rewrite [Derivative Property - Addition]:                                                        [tex]\displaystyle \frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{3} \bigg( \frac{1}{1 + x^2} \bigg) \cdot \bigg( \frac{d}{dx}[1] + \frac{d}{dx}[x^2] \bigg)[/tex]
  6. Basic Power Rule]:                                                                                           [tex]\displaystyle \frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{3} \bigg( \frac{1}{1 + x^2} \bigg) \cdot (2x^{2 - 1})[/tex]
  7. Simplify:                                                                                                             [tex]\displaystyle \frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{3} \bigg( \frac{1}{1 + x^2} \bigg) \cdot 2x[/tex]
  8. Multiply:                                                                                                             [tex]\displaystyle \frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \frac{2x}{3(1 + x^2)}[/tex]
  9. [Multiplication Property of Equality] Isolate y':                                                [tex]\displaystyle y' = y \bigg[ \frac{1}{x} + \frac{2x}{3(1 + x^2)} \bigg][/tex]
  10. Substitute in y:                                                                                                  [tex]\displaystyle y' = x\sqrt[3]{1 + x^2} \bigg[ \frac{1}{x} + \frac{2x}{3(1 + x^2)} \bigg][/tex]
  11. [Brackets] Add:                                                                                                 [tex]\displaystyle y' = x\sqrt[3]{1 + x^2} \bigg[ \frac{5x^2 + 3}{3x(1 + x^2)} \bigg][/tex]
  12. Multiply:                                                                                                             [tex]\displaystyle y' = \frac{(5x^2 + 3)\sqrt[3]{1 + x^2}}{3(1 + x^2)}[/tex]
  13. Simplify [Exponential Rule - Root Rewrite]:                                                    [tex]\displaystyle y' = \frac{5x^2 + 3}{3(1 + x^2)^\bigg{\frac{2}{3}}}[/tex]

Topic: AP Calculus AB/BC (Calculus I/I + II)

Unit: Implicit Differentiation

Book: College Calculus 10e

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