[tex]e^{-3x}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-3x)^n}{n!}=1-3x+9x^2+\cdots[/tex]
[tex]\sin2x=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(2x)^{2n+1}}{(2n+1)!}=2x-\dfrac{4x^3}3+\cdots[/tex]
[tex]e^{-3x}\sin2x=\left(1-3x+9x^2+\cdots\right)\left(2x-\dfrac{4x^3}3+\cdots\right)[/tex]
[tex]\approx T_3(x)=(1-3x+9x^2)\left(2x-\dfrac{4x^3}3\right)[/tex]
[tex]T_3(x)=2x-6x^2+\left(18-\dfrac43\right)x^3[/tex]
[tex]T_3(x)=2x-6x^2+\dfrac{50}3x^3[/tex]
